iの無限累乗

modified: 16.04.15

\(i^{i^{i^{...}}}\)の値を求めよ。

追記1:そもそも\(\lim_{z\to i}z^{z^{z^{...}}}\)という値が定義できるのかどうかが不明。 以下の議論は定義できると仮定した場合の話。 結局、関数\(f(z)=z^{z^{z^{...}}}\)の定義域をちゃんと調べないとダメそう…

追記2:\(f(\theta)\)の中身が間違っていたので修正。


方程式化

\(z=i^{i^{i^{...}}}\) とおくことで、以下の方程式を得る。 \[ z=i^z \] このとき、\(z \in \mathbb{C}\)\[ z=r \exp(i\theta)=a+ib \] と表現できるとする。 ただし、\(a,b,r,\theta \in \mathbb{R}\) に対して \[ r = \sqrt{a^2+b^2} \geq 0\\ \theta = \begin{cases} \arctan(b/a) & (a \ne 0) \\ \pm\pi /2 & (a = 0,\ b=\pm\left|b\right|) \end{cases} \\ -\pi \leq \theta \leq \pi \\ \] 復号同順。

if \(a=0\)

\(z = ib\) となる。これを\(z=i^z\)に代入する。 右辺について \[ i^z = i^{ib} \\ = \exp(i\pi \cdot ib) \\ = \exp(-b \pi) \] したがって、 \[ ib = \exp(-b \pi) \]

左辺は虚数、右辺は実数であるので矛盾。
したがって\(a \ne 0\)

if \(a \ne 0\)

\(z = i^z\) を展開して、 \[ r\exp(i\theta) = \exp(\frac{\pi}{2} iz) \\ = \exp(-b \frac{\pi}{2} + ia \frac{\pi}{2} ) \]

実部と虚部の比較によって以下の2式を得る: \[ \frac{\pi}{2} a = \theta = \arctan(b/a)\\ \iff b = a\tan \theta\\ -\frac{\pi}{2} b = \ln{r} = \frac{1}{2}\ln(a^2+b^2) \]

\(b\)を消去する: \[ -\frac{\pi}{2} b = \frac{1}{2}\ln(a^2+b^2)\\ \iff -\frac{\pi}{2} a\tan \theta = \frac{1}{2}\ln(a^2+a^2\tan^2 \theta)\\ = \frac{1}{2}\ln(a^2(1+\tan^2 \theta))\\ = \frac{1}{2}\ln\frac{a^2}{\cos^2 \theta}\\ = \ln\frac{a}{\cos \theta}\\ \iff -\theta \tan \theta = \ln\frac{2\theta}{\pi\cos \theta}\\ \iff \ln\frac{2\theta}{\pi\cos \theta} + \theta \tan \theta = 0\\ \]

最後の式の左辺を\(f(\theta)\)として以下で解析を行ってみる。


数値解析

厳密解の求め方がわからないという体でせめて近似値だけでも…

準備

そのままGoogle先生に突っ込んでグラフ描いてみる……では安直すぎるので、少し条件を絞ってみる。 \[ f(\theta) = \ln\frac{2\theta}{\pi\cos \theta} + \theta \tan \theta \\ -\pi \leq \theta \leq \pi \]

ここで、対数関数の定義域を考えることで \[ \frac{2\theta}{\pi\cos \theta} > 0 \to 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \] を得る。

グラフを描く

なんだこれは(困惑)

\(f(\theta)\)\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)という範囲では一価関数となることがわかる。

拡大すると\(\theta=0.6885\)付近に零点があることがわかった。

近似値の計算

有効数字4桁で\(\theta = 0.6885\)とおいて計算してみる。 \[ a=\frac{2}{\pi}\theta = 0.4383 \\ b=a\tan \theta = 0.3606 \\ \therefore z=0.4383+0.3606i \] なるほど、わからん。


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